抛物线的顶点坐标公式(二次函数图象抛物线顶点位置与系数a、b、c的关系)

抛物线的顶点坐标公式

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转发或            点击文章末“在看”也是一种“点赞”学完二次函数后，老师们都要给学生们进行系统的复习。在复习中一定有这样的专题复习课：二次函数解析式中系数a、b、c的作用，今天我用GGB动态数学软件研究 二次函数图象抛物线顶点位置与系数a、b、c的关系（纯属个人好奇，还得请各位大咖们批评指正）
一、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象和性质

a的正负	a>0	a<0
大致 图象
开口方向	向上	向下
顶点 坐标
对 称 轴
增 减 性	在对称轴右侧，y 随x 的增大而增大 在对称轴左侧，y 随x 的增大而减少	在对称轴右侧，y 随x 的增大而减少 在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大
最  值

二、二次函数的图象特征与系数a、b、c的关系

作用 字母符号 图象的特征

决定开口方向 a＞0 开口向上     a       （上正、下负） a＜0 开口向下      决定抛物线与y轴交点的位置 c ＞0 交y轴的正半轴     c ，交点的坐标为（0，c） c=0 过原点          （上正、下负） c＜0 交y轴的负半轴   共同决定对称轴的位置， ab＞0 对称轴在y轴左侧    a，b      对称轴为直线 ab=0 对称轴为y轴

   （左同、右异） ab＜0 对称轴在y轴右侧     b2-4ac>0 与x轴有两个交点 b2-4ac 决定抛物线与x轴交点的个数  b2-4ac=0 与x轴有一个交点

b2-4ac<0 与x轴没有交点

三、常见特殊式子

 特 a+b+c x=1时的y值与x轴的位置    殊 a-b+c x=-1时的y值与x轴的位置    式 4a+2b+c x=2时的y值与x轴的位置    子 4a-2b+c x=-2时的y值与x轴的位置

四、二次函数图象抛物线顶点位置与系数a、b、c的关系
二次函数的一般式：y=ax2+bx+c(a≠0),
1、当待定系数b、c确定，请看a变化时的动态演示
播放
视频中a从负数逐渐增大到正数（包括0），b=4, c=-3,即抛物线y=ax2+4x-3我们来看有哪些变化？
①a从负数逐渐增大到0时，抛物线的开口向下，开口大小逐渐变大；
②a=0不是抛物线而是一条直线，即y=4x-3（是不是直线可以看成抛物线开口无穷大，请专家们给与指导）；
③a从0逐渐增大到正数时，抛物线的开口向上，开口大小逐渐变小；
④抛物线的顶点在一条直线y=2x-3上,除去与y轴的交点(0,-3)。

2、当待定系数a、c确定，请看b变化时的动态演示播放
视频中b从负数逐渐增大到正数，a=0.5, c=-2,即抛物线y=0.5×2+bx-2我们来看有哪些变化？
b从负数逐渐增大到正数时
①开口方向、大小形状不变；
②抛物线的顶点在另一条抛物线y=-0.5×2-2上运动
3、当待定系数a、b确定，请看c变化时的动态演示
播放
视频中c从负数逐渐增大到正数，a=0.5, b=4,即抛物线y=0.5×2+4x+c我们来看有哪些变化？c从负数逐渐增大到正数时
①开口方向、大小形状不变；
②抛物线的顶点在一条直线上x=-4上运动
以上三种情况下抛物线的顶点位置直接和a、b、c有关，GGB软件给我们研究含参二次函数抛物线顶点位置时提供了直观的发现。其实这些含参抛物线顶点的位置完全可以利用顶点坐标公式和设元消参的方法来研究顶点的位置。  
举例说明：写出下面二次函数
的顶点所在函数图像的表达式？
设
         
    把a=2-x代入可得：      ∴通过顶点坐标公式和设元消参判断出原抛物线的顶点在另一条抛物线上运动。
今天所写的是本人在学习GGB动态数学软件中画含参二次函数图像时的一些观察和想法，还有很多不成熟的地方有待后续改进。可以肯定的是，借助于现代科技能够帮助我们看到无法想象的世界，也为人类去发现新的问题和解决问题提供了一个很好的途径。
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